Μαθηματική Ανάλυση
Γκανάτσιου Χρυσούλα
Συμβασιούχος Διδάσκων
Μαθησιακά Αποτελέσματα
Πέρα από κανόνες και θεωρήματα, το μάθημα επιδιώκει να δείξει τον μαθηματικό τρόπο σκέψης, ώστε να αναπτυχθεί από τους φοιτητές συνδυαστική ικανότητα και δυνατότητα επίλυσης προβλημάτων. Αντικειμενικοί στόχοι:
- επάρκεια γνώσεων για την παρακολούθηση των διδασκόμενων τεχνολογικών μαθημάτων
- κριτική ικανότητα και διανοητική πειθαρχία
- κατανόηση των θεμελιωδών εννοιών των συναρτήσεων μιας και πολλών μεταβλητών
- γνώση της μαθηματικής «γλώσσας» με την οποία ο φοιτητής δομεί στέρεα και αυστηρά τις έννοιες, τα φαινόμενα και τους νόμους της επιστήμης και της τεχνολογίας
Ενδεικτικό Περιεχόμενο Μαθήματος
- Σύνολα. Η έννοια της απεικόνισης. Πραγματικοί αριθμοί. Αξιώματα του R. Ρητοί αριθμοί. Το επεκτεταμένο σύνολο R. Διαστήματα. Απόσταση. Περιοχή σημείου. Ταξινόμηση σημείων του R. Ανοικτά και κλειστά σύνολα.
- Ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Όριο ακολουθίας. Πράξεις με όρια. Κριτήριο Cauchy. Μονότονες ακολουθίες. Συστολική ακολουθία. Αναδρομικές ακολουθίες. Εξισώσεις διαφορών.
- Σειρές πραγματικών συναρτήσεων. Βασικά κριτήρια σύγκλισης σειρών.
- Συνέχεια συνάρτησης. Βασικά θεωρήματα.
- Παράγωγος συνάρτησης. Βασικά θεωρήματα. Κανόνας Leibniz.
- Αντίστροφες τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Υπερβολικές συναρτήσεις και αντίστροφες αυτών.
- Διαφορικό. Παράγωγοι και διαφορικά ανώτερης τάξης.
- Προσέγγιση συναρτήσεων με πολυώνυμα. Πολυώνυμο Taylor (Maclaurin). Δυναμοσειρές.
- Αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωμα Riemann. Θεμελιώδη θεωρήματα. Θεώρημα μέσης τιμής του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Παραγώγιση ολοκληρωμάτων.
- Γενικευμένο ολοκλήρωμα. Βασικές προτάσεις σύγκλισης.
- Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος. Σειρές Fourier.
- Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών. Ομογενείς. Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Εξίσωση Euler.
- Ευκλείδειος χώρος Rⁿ. Περιοχή σημείου. Ταξινόμηση σημείων του Rⁿ. Ανοικτά και κλειστά σύνολα.
- Ακολουθίες. Βασικά θεωρήματα.
- Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Όριο συνάρτησης. Ιδιότητες του ορίου. Συνέχεια συνάρτησης. Ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων.
- Μερικές παράγωγοι πρώτης και ανώτερης τάξης. Διαφορίσιμη συνάρτηση. Ολικό διαφορικό. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης πρώτης και ανώτερης τάξης. Διαφορικό ανώτερης τάξης. Παράγωγος ορίζουσας. Συναρτησιακές ορίζουσες. Πεπλεγμένες συναρτήσεις. Γενίκευση. Αντιστροφή συστήματος. Μετασχηματισμοί εξισώσεων Laplace. Παράγωγος κατά κατεύθυνση. Θεώρημα μέσης τιμής. Τύπος Taylor (Maclaurin). Τοπικά και δεσμευμένα ακρότατα.
- Διπλά και τριπλά ολοκληρώματα.
- Επικαμπύλια ολοκληρώματα πρώτου και δεύτερου είδους.
- Πεδία. Κλίση. Απόκλιση. Περιστροφή. Ανάδελτα. Τύπος Green. Προσδιορισμός της διανυσματικής συνάρτησης.